Fraktálok és képek :)))))

Egy pps kapcsán:

A fraktál szót, Benoit Mandelbrot alkotta. Magában hordozza a:
       fragmental → töredezett
       frakcional → szabálytalan
szavak hangulatát.

A fraktálok lényege, hogy ugyanazt a szabályt alkalmazzuk egymás után nagyon sokszor. A kiindulási pontra(n) elvégzett művelet eredményére, újra elvégezzük a műveletet, és megnézzük mi lett az eredmény(n+1). Erre az eredményre ismét elvégezzük, és kapunk egy újabb eredményt(n+2). Ezzel ismét megtesszük ugyanezt(n+3), és így tovább ezzel a szisztémával. Ezt a végtelenségig lehet folytatni, mert a műveletet bármikor el tudjuk végezni még egyszer. Így egy valóban végtelen sorozatot kaptunk.
Ha ezeket a sorozatokat, grafikailag megjelenítjük, az a fraktálgeometria.

Fontos hogy egy fraktálkép, amit látunk az soha sem az egész kép. Pl. a Koch hópehely, amely a második képen 4 fázisban látható, nem azonos egyik fázissal sem, és nagyon sok művelet után sem a teljes kép. Soha sem lehet megjeleníteni az egészet, mert a műveletet, mindig el lehet végezni újra. Ez azt jelenti, hogy valóban végtelen, és a végtelen nem fér bele az idő és a tér véges korlátai közé.
A teljes kép kizárólag a művelettel irható le. Maga az utasítássorozat jelenti a teljes képet.
Ez a tulajdonság jellemzi a fraktálokat.

Matematikai definíció:

Fraktál:
   olyan halmaz, aminek a fraktál dimenziója nagyobb a topológiai dimenziójánál.

Fraktáldimenzió :
    Tegyük fel, hogy a H halmaz N darab hasonló részből áll, amelyek S-szeres (s<1) nagyításai
    H-nak. 

A legegyszerűbb fraktál alakzatok:

Az egyre bonyolultabb formákon keresztül, könnyen megérthető, hogy mit jelent az hogy fraktál, és hogy valójában a természet is ilyen módon épül fel körülöttünk.

A Cantor halmaz, vagy Cantor por:
Egy szakaszt három részre osztunk, majd kivesszük a középsőt.

 

A Koch görbe, és a Koch hópehely:
Itt a középső harmad helyére beteszünk még kettőt.

Animált változatban:

A Sierpinski háromszög:
Az oldalak felezőjét összekötve rajzoljuk meg az új háromszöget újra és újra.

   Térben: 

Ugyanez négyzet alapon a Sierpinski szőnyeg:

Három dimenzióban a Sierpinski kocka, más néven a Menger szivacs:

Végtelen számú lépés esetén a Menger szivacs térfogata nulla, felszíne pedig végtelen.


Az alakzatokat és a formát lehet variálni, az elv marad:

Ezen a kézen igazán meg lehet érinteni a fraktálok lényegét:

Egy kis fantáziával a lehetőségek határtalanok:

A klasszikusok: csigaház, és a páfránylevél  

Variációk egy témára: FA

  

Fa akár a pitagoraszi háromszögből:

Ezek már mintha élnének:

Ha egy fát ilyen élethűre lehet készíteni, akkor pár egyszerűbb felszín sem okozhat nehézséget.

A természet:
Nehéz eldönteni mi a valódi, és mi grafika.

 
A művészetben, épp úgy jelen volt régen mint ma:
Mozaik-dísz, Anagni, katedrális

 A leghíresebb fraktál a Mandelbrot halmaz: 

(http://lelekzet.hu/l/58/41)

-------------------------------------------------------------------------------------------
Csodálatos képeket lehet látni a Mandelbrot halmazokról:
http://lelekzet.hu/l/61/43


A tudat fraktál szerű felépítése:
(Részlet Radics Péter: Camino és a személyiség fejlődése c. szakdolgozatából)

http://lelekzet.hu/l/65/40


Ez is érdekes:
http://lelekzet.hu/l/63/44


ez pedig egy galéria:




http://lelekzet.hu/l/67/46